[olegoo]

Такое бывает на дизелях - когда аккум вроде бы напругу показывает, и заряд берет, и даже стартер крутит, но при прокручивании стартером напруга падает ниже порога, при котором ЭБУ способен работать, а реле - устойчиво включаться.
Может и в этом случае то же самое. Чтобы понять это нужно подключить вольтметр на клеммы аккума или в любую точку, где напряжение не отключается при прокрутке стартером (как в прикуривателе, там АСС).

Работоспособность бензонасоса можно примитивно оценочно проверить, подав кратковременно куском провода на него питание и послушать.